Общее знание

Говорят, что некий факт X является общим знанием между двумя или более агентами, если верно следующее:

• всем агентам известен факт X;
• каждому из них известно, что факт X известен всем остальным;
• каждому известно, что всем известно, что факт X всем известен;
• всем известно, что всем известно, что всем известно, что X;
• и так далее до бесконечности.

Классический пример ситуации с общим знанием

Пусть на некотором острове живет племя голубоглазых островитян. При этом ни один из них не знает цвета своих глаз, поскольку на острове нет зеркал, и существует непреложный закон, согласно которому каждый член племени, который узнает цвет своих глаз, должен в ближайший полдень совершить ритуальное самоубийство, прыгнув в жерло вулкана, который находится на острове. Обсуждение цвета глаз также является табу. Однажды на острове оказался потерпевший кораблекрушение путешественник. Островитяне привели его на общее собрание племени, где он воскликнул: "Ого, не знал, что бывают голубоглазые туземцы!". После этой фразы путешественника немедленно убили за нарушение табу, но его слова услышали все члены племени; причем все поняли, что его услышали все; и все поняли, что все знают, что все его слышали и т.п. Более эту ситуацию никак не обсуждали, однако (при условии, что всего в племени 20 жителей) ровно на 20-й день все островитяне поголовно бросаются в жерло вулкана. Более того, если на острове N голубоглазых жителей, и сколько угодно людей с другим цветом глаз, то ровно на N-й день все голубоглазые бросаются в жерло вулкана.

Понять, почему так произошло, проще всего по индукции. 1. Пусть на острове всего один голубоглазый житель (Альберт). Тогда услышав путешественника, он понимает, что вариантов нет, и он - голубоглазый. В первый же день он бросается в вулкан. 2. Пусть на острове два голубоглазых жителя (Альберт и Барт). Тогда Альберт подумает: "я вижу перед собой голубоглазого Барта, но не знаю, голубоглазый ли я сам; однако, если я не голубоглазый, то Барт поймет, что речь была не обо мне, а о нем, и в первый же день в полдень бросится в вулкан". Но Барт тоже видит перед собой Альберта с голубыми глазами, и допускает, что речь шла только об Альберте; так что у него нет уверенности, что сам он голубоглазый. Поэтому Барт не бросается в вулкан в первый же день. Увидев, это, ко второму дню Альберт понимает, почему Барт так поступил: он увидел голубоглазого Альберта. За счет этого Альберт понимает, что сам является голубоглазым, и бросается в вулкан на второй день. Барт, увидев, что в первый день Альберт тоже не бросился в вулкан, похожим образом понимает, что и сам является голубоглазым. На второй день он составляет компанию Альберту. 3. Пусть на острове три голубоглазых жителя (Альберт, Барт и Винсент). Тогда Альберта вокруг себя двоих голубоглазых и понимает, что существует два варианта. В первом у Альберта не голубые глаза, и тогда с точки зрения Барта и Винсента ситуация аналогична рассмотренной выше (и оба они прыгают в вулкан на второй день). Во втором у него самого голубые глаза, и после первого дня ни Барт, ни Винсент не удивляются, что никто не бросился в вулкан: ведь каждый из них видит вокруг себя двоих голубоглазых, так что на второй день бросаться в вулкан у них нет причин. Но после второго дня, видя обоих своих соседей на месте, Альберт понимает, что первый вариант не верен, и у него самого голубые глаза. Барт и Винсент то же самое понимают про самих себя. N. И так далее - каждый из голубоглазых, видя вокруг себя N-1 другого голубоглазого, ожидает, что либо все они прыгнут в вулкан на N-1 день (если сам он не голубоглазый), либо нет (поскольку тоже видят вокруг себя N-1 голубоглазого). Поскольку на N-1 день ничего не происходит, к N дню все голубоглазые понимают, какой у них цвет глаз.

В терминах общего знания это означает, что хотя до этого каждый из островитян всю жизнь видел вокруг себя только голубоглазых соседей, цвет глаз никогда не был общим знанием. Но на первый день становится общим знанием, что на острове по крайней мере один голубоглазый. На второй день - что по крайней мере два голубоглазых. И так далее, пока на N-й день не станет общим знанием, что на острове N голубоглазых. В этот момент каждый из них, видя, что вокруг него только N-1 голубоглазый, узнает свой собственный цвет глаз.

Существуют похожие разновидности этой ситуации. В одной из них несколько детей играют в грязи, и у всех них испачкан лоб, чего сами они не видят. Приходит учитель и говорит: "я утверждаю, что по крайней мере у одного из вас грязный лоб; теперь пусть те, кто знает, что у него грязный лоб, встанут". Никто не встает, и учитель говорит: "пусть теперь встанут те, кто знает, что у него грязный лоб", и снова никто не встает. Так продолжается до тех пор, пока на N-й раз не встают все N детей.

Общее знание и теорема Ауманна

• (Основная статья: Теорема Ауманна)

Понятие общего знания является ключевым в теореме Ауманна - в ней требуется, чтобы между двумя агентами было общее знание о нескольких вещах, в т.ч. о величине апостериорных вероятностей некоторого события Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . В соответствующих условиях постериоры этого события будут совпадать у обоих агентов. При этом самым сильным и нетривиальным условием теоремы является наличие общего знания о постериорах Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Если это условие истинно, то вывод теоремы следует почти тривиально.

Статьи по теме

• Это ты сделал мои голубые глаза голубыми - художественный рассказ Скотта Александера об островитянах-байесианцах с несколько неожиданным финалом
• Общее знание и теорема Ауманна — статья Скотта Ааронсона, подробно описывающая разные аспекты общего знания

См.также

• Теорема Ауманна