Молотки и гвозди

Если у вас есть только молоток, то всё вокруг выглядит как гвоздь.

Наиболее значимая идея, о которой я когда-либо писал это «Серьезное восприятие идей», что само по себе является обобщением поста Зви More Dakka. Этот текст является углублением мысли о полноценной интеграции какой-либо идеи.

Создам дихотомию между Молотками и Гвоздями:

Молоток есть некто, выбирающий единственную технику и использующий её для решения как можно большего количества задач.

Гвоздь есть некто, выбирающий единственную задачу и использующий все доступные техники, пока не решит её.

Люди в целом являются Гвоздями, фиксирующиеся на одной конкретной проблеме и применяющие все свои приемы на ней. Гвоздь приобретает мастерство в решении задач медленно и усердно, но может не суметь распознать мощь и уровень применимости своих инструментов.

Иногда лучше быть Молотком. Полученный добрый совет всегда является молотком: некий организующий принцип, который работает во многих отраслях. Чтобы получить максимальный выхлоп с одного молотка, не прекращайте использовать его после решения текущей задачи. Используйте его везде. Идеи не изнашиваются от частого применения.

Независимо от того, кем вы являетесь в данный момент, будьте систематичны, поскольку выбор это плохо.

Всего лишь несколько трюков

Мне приходит на ум ставшая классической речь математика Джан-Карло Рота. Его пятый тезис - будьте Молотком (выделено мной):

Долгое время назад пожилой и хорошо известный специалист в области теории чисел сделал несколько пренебрежительных замечаний о работе Пала Эрдёша. Вы восхищаетесь вкладом в математику столь же сильно, как и я, а я был возмущен, когда математик сухо и четко заявил, что вся работа Эрдёша может быть сведена к нескольким трюкам, которые Эрдёш постоянно использовал в своих доказательствах. Чего наш специалист не осознал, так это использование математиками, даже самыми лучшими из них, небольшого количества хитростей раз за разом. Например, Гильберт. Второй том собрания сочинений Гильберта содержит его работы по теории инвариантов. Я удосужился тщательно прочитать некоторые его работы. Печально заметить, что некоторые из прекрасных решений Гильберта были полностью забыты. Но при чтении доказательств удивительно глубоких теорем Гильберта в теории инвариантов, можно с поражением убедиться, что в своих доказательствах он опирался на несколько трюков. Даже у Гильберта было всего лишь несколько трюков.

Лучшие математики всех времен создали огромные массивы своих работ через применение лишь одной прекрасной техники к каждой задаче, которую могли найти. Моя любимая книга по математике это «Вероятностный метод» за авторством Алона и Спенсера. Никогда не устану поражаться, что один и тот же метод применяется к:

1. Теореме Эрдёша-Каца. Число разных простых множителей случайного целого числа между 1 и n ведет себя как нормальное распределение со средним и дисперсией log log n.

2. Задаче треугольника Хейлбронна (Heilbronn triangle problem). Каков максимум Δ(n), для которого существует n точек в единичном квадрате, никакие три из которых не формируют треугольник с площадью меньше чем Δ(n)?

3. Переходу фаз Эрдёша-Реньи.

Занимательно отметить, что в той же самой речи, Рота изложил преимущества Гвоздей двумя тезисами ниже:

Ричард Фейнман любил давать совет, как стать гением. Нужно постоянно держать в уме дюжину своих любимых задач, несмотря на то, что по большому счёту они будут находиться в «спящем» состоянии. Каждый раз, когда вы услышите или прочтёте о какой-то новой хитрости или приеме, испробуйте его на каждой из ваших любимых двенадцати задач и посмотрите, что сработает. Время от времени что-то будет получаться, а люди вокруг станут говорить: «Как он это сделал? Он наверняка гений!»

Оба состояния разума необходимы.

Быть Гвоздём значит изучать единственную задачу с каждого боку. Часто бывает, что каждая техника проливает свет на одну сторону задачи и обойдя проблему по кругу через применение множества молотков, можно глубоко в ней разобраться. Причем эффект сохраняется и после решения задачи - какие-то откровения можно получить, применяя иные методы и получая более удовлетворяющие способы доказательства.

Обычно даже провал отдельных техник проливает свет на степень сложности задачи. Классическим примером такого отрезвляющего провала является систематическая ошибка счёта (ровно на два порядка) простых чисел, используя методы сита. Этот провал настолько серьёзен и неисправим, что получил собственное имя: задача соотношения (Parity Problem).

В то же время, быть Молотком значит изучать единственную технику с каждой возможной точки зрения. В случае вероятностного метода, обширность применения была мгновенно обнаружена при систематическом изучении равномерных случайных построений. Однако, отдельные адепты Молотка вроде Эрдёша превратили этот базовый метод в супероружие через кропотливое применение ко все более и более сложным задачам. Вариации вероятностного метода такие как локальная лемма Ловаса, лемма энтропии Ширера и неравенство Азумы-Хёфдинга являются теперь каноническими благодаря настойчивости Молотков.

Будь систематичен

Идея не в том, что Молотки лучше, чем Гвозди. Идея в том, что существует время и место и для Молотков, и для Гвоздей, а в частности сочетание обоих состояний сознания гораздо лучше, чем слепое блуждание по методам, характеризующее запутавшихся новичков. Существует бесконечное количество советов в Интернете, иногда даже хороших советов, но всё же каждому человеку приходится организовывать свою жизнь вокруг систематического применения нескольких трюков или решения небольшого количества задач.

Принять идею всерьез трудно и дорого. Потребуется снести конкурирующие конструкции в сознании и создать новый дворец для новой идеи. Придётся её тестировать в поле снова и снова, не скатываясь при этом в суеверия.

Станьте Молотком, примите эту идею всерьез и заставьте её работать на себя и платить ренту. Черт, да ты же президент, ты император, ты король. Нет никого старше тебя в твоей голове! Заставь свои идеи работать.

Упражнение для читателя: все вещи имеют привычное применение. Придумайте десять непривычных способов применения вашей любимой техники рациональности (бонусные очки за демонстрацию намерения убивать)